O que é a transformada de Fourier?

Quem tem algum contacto com a matemática ou a programação, mais tarde ou mais cedo vai acabar por dar com uma coisa chamada "Transformada de Fourier". Uma coisa algo estranha, mas que parece ser usada um pouco por todo o lado, desde os algoritmos de compressão de som, imagem e vídeo, a... tudo o que envolva processamento de sinais. O que é então esta Transformada de Fourier, e porque motivo é tão importante?

Certamente já viram uma waveform de uma música ou som, e é algo que parece uma cacafonia de frequências, praticamente imprevisíveis, e cuja representação requer muito espaço (sendo necessário guardar cada ponto da sua amplitude, para que possa ser armazenada e recriada mais tarde). Mas, o mais incrível é que por mais estranha que pareça uma onda sonora (e não só sonora), ela pode ser sempre decomposta em ondas sinusoidais puras, que quando somadas recriam a onda original.

E por esta altura já começam a perceber a importância desta transformada... em vez de guardarem uma enorme quantidade de dados sobre uma onda, poderão apenas guardar as frequências que a compõem, e que bastará somar para recriar a onda pretendida.

[Com apenas alguns poucos números que indiquem o raio de círculos, é possível recriar qualquer onda existente]

É graças a esta técnica que hoje podemos ter músicas comprimidas em MP3 que ocupam uma fracção do seu espaço original não comprimido, e também os JPEGs, MPEGs, e praticamente todo qualquer outro codec existente. O seu cálculo é algo computacionalmente intensivo (alguns ainda se lembrarão do tempo que demorava a converter uma música para MP3, quando o formato se começou a popularizar), tendo dando origem a vários métodos para o acelerar (como o FFT - Fast Fourier Transform). Hoje em dia, esse problema já não se coloca... mas esta transformada de Fourier continua a estar presente em muitas das coisas do nosso dia a dia, mesmo que nem sequer reparemos nelas!


Actualização: temos um novo vídeo que facilita o processo de visualização da Transformada de Fourier.