O hotel infinito de Hilbert

Tentar compreender o infinito é normalmente causador da morte prematura de bastantes neurónios, mas há alguns paradoxos engraçados que foram sendo usados para melhor compreender o infinito, como é o caso do Hotel Infinito de Hilbert.

O Hotel de Hilbert foi um exemplo imaginado por David Hilbert em 1924, para nos mostrar que o infinito poder ser infinitamente contra-intuitivo. A proposta é a de um Hotel que tem um número de quartos infinitos, que está sempre cheio, mas que tem sempre lugar para mais um cliente.

Inicialmente isso é feito com um método bastante simples. Quando chega um novo cliente, é-lhe atribuído o quarto número um, e pedido aos hóspedes existentes que simplesmente passagem para o quarto seguinte. Como existe um número infinito de quartos, nunca há problema.

Mas depressa as coisas começam a complicar-se, primeiro com a chegada de um autocarro com um número infinito de passageiros em busca de alojamento, e que não têm paciência para esperar que exista um número infinito de trocas de quartos até que chegue a sua vez; e de seguida complica-se ainda mais, com a chegada de um número infinito de autocarros, cada um com um número infinito de novos hóspedes, e que também querem ser atendidos o mais rapidamente possível.

Será possível arranjar uma solução "finita" para um problema "infinito"? É o que nos é explicado já a seguir...